子供と海外に行く場合には、両親揃っての海外旅行でなければ未成年渡航同意書というものが必要な国が多くなっている。ひとり親家庭はもちろんだが、両親揃っていても父親か母親のいずれかが留守番という場合にはこれが必要になるらしい。
正確には、必ずしも必要ではないが、入国審査官に提示を求められた場合に、未成年渡航同意書がなければ審査官の裁量で入国を拒否される場合があるということだ。

国際結婚等の場合に片方の親がもう一方の親の許可無く子供を国外に連れ出してしまう事を防ぐための、所謂バーグ条約に関わる処置だ。日本も2014年にこの条約の締結国になった。

これは2013年の締結国。2014年に日本も加わった。

アメリカももちろん対象国なので、親ひとりと子供との渡航の場合には未成年渡航同意書の携行が強く勧められている。
ただ、今現在(2015年4月)、この書類を持たずに親ひとりと子供で渡米し、入国を拒否されたという情報は無いようだが、別室での審査を要したケースはあるようだ。
実際問題、親子共に日本国籍で、観光で渡米した親子がバーグ条約で問題となるような連れ出しの状況であることは考え難い。なので、入国審査官が未成年渡航同意書の提示を求めるようなことは滅多にないのではないかと思う。

ただ、原則として必要とされていることは確かなので、求められて提示出来ない場合には入国を拒否されても文句は言えないということだ。
書式が決まっている国もあるようだが、アメリカの場合は自由書式だ。英文で、旅行に同行していない親が旅行を許可している旨の書面にサインしていれば良い。
死別や離婚などでサインが用意出来ない場合には、それが分かる書類、つまり戸籍謄本とその英訳があれば良いようだ。(英訳は戸籍謄本上に単語を自分で直接記入したものでも良い)
日本では共同親権が無いので、離婚をすれば親権はどちらか一方の親が持っている。戸籍謄本には離婚した父親と母親のどちらが親権者かが書かれている。もし親権を争っているような場合での海外旅行は、まさしくバーグ条約にひっかかるようなケースなので、そんな状況での海外旅行はしない方が無難だ。
又、子供と親の姓が違うような場合は書類は絶対に用意した方が無難だ。(戸籍謄本と英訳)

これは親がどちらも同行しない子供独りでの渡航(留学やホームステイ、修学旅行等)でも同様だ。ちなみに子供とは18歳未満の者を指す。20歳未満では無い。

アメリカの場合は上記の様に必要書類が割と簡単だが、かなり厳格な書類を必要とする国もあるので、親ひとりと子供での海外旅行の際には、ツアーなら旅行会社、個人手配なら渡航先の国の大使館や領事館などに余裕を持って確認した方が良い。